Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{e}{x^{n}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{e}{x^{n}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{e}{x^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{x^{n}}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{e}{x^{n}}$ zu dividieren.

$1 \frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x^{n}}{e}$ mit $1$ .

$\frac{x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{x^{n}}]$

Schritt 4

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e}{x^{n}}$ nach $x$ gleich $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$\frac{x^{n}}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $e$ und $\frac{x^{n}}{e}$ .

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e x^{n}}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Schritt 5.2.2

Dividiere $x^{n}$ durch $1$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{n}}]$

Schritt 5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{n}}$ als ${(x^{n})}^{- 1}$ um.

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Schritt 5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{n})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{n \cdot - 1}]$

Schritt 5.3.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- 1 \cdot n}]$

Schritt 5.3.2.3

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$x^{n} \frac{d}{d x} [x^{- n}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - n$ .

$x^{n} (- n x^{- n - 1})$

Schritt 7

Multipliziere $x^{n}$ mit $x^{- n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{- n - 1}$ .

$x^{- n - 1} x^{n} (- n)$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- n - 1 + n} (- n)$

Schritt 7.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- n - 1 + n$ .

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Schritt 7.3.1

Addiere $- n$ und $n$ .

$x^{0 - 1} (- n)$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$x^{- 1} (- n)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- n)$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $n$ .

$- \frac{n}{x}$