Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{4 x - 2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{3 x + 1}{4 x - 2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x + 1}{4 x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{4 x - 2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{4 x - 2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x + 1}{4 x - 2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{4 x - 2}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{4 x - 2}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3 x + 1}{4 x - 2}$ zu dividieren.

$1 \frac{4 x - 2}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{4 x - 2}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{4 x - 2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x + 1$ und $g (x) = 4 x - 2$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{(4 x - 2) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x - 2$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (4 x - 2) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 2]}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) (4 + 0)}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - (3 x + 1) \cdot 4}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 2}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1)}{{(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.12.3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 2}{3 x + 1}$ mit $\frac{3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1)}{{(4 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 2) (3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(4 x - 2)}^{2}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4 x - 2$ aus $(3 x + 1) {(4 x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 2) (3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1))}{(4 x - 2) ((3 x + 1) (4 x - 2))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 2) (3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1))}{(4 x - 2) ((3 x + 1) (4 x - 2))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (4 x - 2) - 4 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 2 - 4 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 2 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot - 2 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{12 x - 6 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{12 x - 6 - 12 x - 4 \cdot 1}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{12 x - 6 - 12 x - 4}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 x - 6 - 12 x - 4$ .

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$\frac{0 - 6 - 4}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{- 6 - 4}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.3.3

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$\frac{- 10}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.4

Vereine die Terme

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4 x - 2$ .

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Schritt 7.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 (- 5)}{(3 x + 1) (4 x - 2)}$

Schritt 7.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 x + 1) (4 x - 2)$ heraus.

$\frac{2 (- 5)}{2 ((3 x + 1) (2 x - 1))}$

Schritt 7.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 ((3 x + 1) (2 x - 1))}$

Schritt 7.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{(3 x + 1) (2 x - 1)}$