Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x^{2} - x |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ mit $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 5

Potenziere $x^{2} - x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 6

Potenziere $x^{2} - x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Stelle die Faktoren von $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ um.

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Schritt 14.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Schritt 14.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Schritt 14.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Schritt 14.3.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 1)$ an.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Schritt 14.3.3

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Schritt 14.3.4

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Schritt 14.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Schritt 14.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Schritt 14.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 14.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Schritt 14.3.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Schritt 14.3.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Schritt 14.3.5.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Schritt 14.3.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Schritt 14.3.5.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Schritt 14.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.7

Vereinfache.

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Schritt 14.3.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.3.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.7.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.7.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Schritt 14.3.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.3.8.1

Bewege $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Schritt 14.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 14.3.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Schritt 14.3.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Schritt 14.3.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Schritt 14.3.9

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 14.3.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Schritt 14.3.9.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Schritt 14.3.9.3

Multipliziere mit $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.9.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Schritt 14.3.9.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Schritt 14.3.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 14.3.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Schritt 14.3.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 14.3.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Schritt 14.3.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Schritt 14.4

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 14.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 14.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 14.5.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 14.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 14.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 14.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.6.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Schritt 14.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Schritt 14.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Schritt 14.7

Mutltipliziere $2 x - 1$ mit $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$