Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ zu dividieren.

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ mit $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $4 x - 3$ aus $x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.5.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{2} - 6 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3} - 3 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

Schritt 7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (2 x - 3)$ heraus.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

Schritt 7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 x - 3)$ heraus.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Schritt 7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Schritt 7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$