Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sqrt{\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}}$ als ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 1)}^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 10.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11

Differenziere.

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Schritt 11.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 \cdot (x + 1) {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} (1 + 0) - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 11.9.3

Mutltipliziere $\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 11.9.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{1}{{(\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x + 1}$ an.

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}}$ an.

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{3 (x + 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ zu dividieren.

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5.3

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3 \cdot 1) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.5.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.5.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 12.5.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 12.5.6

Mutltipliziere $\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.7

Bringe ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 12.5.8

Multipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.8.1

Bewege ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.8.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.9

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.10

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.10.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{3 + 3}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.10.4

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{\frac{6}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.10.5

Dividiere $6$ durch $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{{(x - 1)}^{3} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ((3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3})}{2 \cdot {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.12

Bringe ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 12.5.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.5.13.1

Multipliziere ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.13.1.1

Bewege ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 12.5.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5.13.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Schritt 12.5.13.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.5.13.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 12.5.13.2

Vereinfache $2 {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{(3 x + 3) {(x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{3}}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- {(x - 1)}^{3} + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.7.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus $- {(x - 1)}^{3} + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)$ heraus.

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Schritt 12.7.1.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus $- {(x - 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.1.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{2} (- (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} (3 x + 3)$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- (x - 1) + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- x - - 1 + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (- x + 1 + 3 x + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.4

Addiere $- x$ und $3 x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1 + 3)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 4)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 12.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x) + 4)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 2)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.7.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 2 (x + 2)}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 1)}^{2}$ und ${(x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 12.8.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x - 1)}^{2} \cdot 2 (x + 2)$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)}$

Schritt 12.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.8.2.1

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus $2 {(x - 1)}^{3} (x + 1)$ heraus.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{{(x - 1)}^{2} (2 (x - 1) (x + 1))}$

Schritt 12.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 (x + 2))}{{(x - 1)}^{2} (2 (x - 1) (x + 1))}$

Schritt 12.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (x - 1) (x + 1)}$

Schritt 12.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2)}{2 (x - 1) (x + 1)}$

Schritt 12.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$