Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ als ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 10

Bringe ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 12

Multipliziere ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ mit ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 12.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 13

Vereinfache $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 6 x - 2$ und $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15

Differenziere.

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Schritt 15.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.6.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Schritt 15.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 15.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 15.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 15.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 15.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

Schritt 15.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.12.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

Schritt 15.12.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

Schritt 16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4

Vereine die Terme

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4.5

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

Schritt 16.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

Schritt 16.4.7

Addiere $42 x$ und $42 x$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

Schritt 16.4.8

Addiere $- 14$ und $24$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

Schritt 16.5

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ um.

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

Schritt 16.6

Faktorisiere $4$ aus $12 x - 4$ heraus.

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Schritt 16.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x$ heraus.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

Schritt 16.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

Schritt 16.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Schritt 16.7

Mutltipliziere $84 x + 10$ mit $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ .

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Schritt 16.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $84 x + 10$ und $4$ .

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Schritt 16.8.1

Faktorisiere $2$ aus $84 x$ heraus.

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Schritt 16.8.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Schritt 16.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (42 x) + 2 (5)$ heraus.

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Schritt 16.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ heraus.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Schritt 16.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Schritt 16.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$