Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1}$ als ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 5 x + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 10

Bringe ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 12

Multipliziere ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3 ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 12.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 13

Vereinfache $3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 16

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 18

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 19

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + 0)$

Schritt 20

Addiere $2 x + 5$ und $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5)$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 (5 x) + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Schritt 21.2

Vereine die Terme

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Schritt 21.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Schritt 21.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$

Schritt 21.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$ um.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3}$

Schritt 21.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 15 x + 3$ heraus.

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Schritt 21.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 15 x + 3}$

Schritt 21.4.2

Faktorisiere $3$ aus $15 x$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3}$

Schritt 21.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3 (1)}$

Schritt 21.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (5 x)$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)}$

Schritt 21.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$

Schritt 21.5

Mutltipliziere $2 x + 5$ mit $\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$ .

$\frac{2 x + 5}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$