Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} \tan (5 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} \tan (5 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} \tan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (5 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (5 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (5 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (\sec^{2} (5 x) \cdot 5) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (5 \cdot \sec^{2} (5 x)) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (5 \sec^{2} (5 x)) + \tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (x^{2} (5 \sec^{2} (5 x))) + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \tan (5 x)} (5 \sec^{2} (5 x)) + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{2}}{x^{2} \tan (5 x)}$ .

$\frac{5 x^{2}}{x^{2} \tan (5 x)} \sec^{2} (5 x) + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{5 x^{2}}{x^{2} \tan (5 x)}$ und $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 x^{2} \sec^{2} (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)} + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2} \sec^{2} (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)} + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{1}{x^{2} \tan (5 x)} (\tan (5 x) (2 x))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $\tan (5 x)$ und $\frac{1}{x^{2} \tan (5 x)}$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{\tan (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)} (2 x)$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{\tan (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)}$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{2 \tan (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)} x$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $\frac{2 \tan (5 x)}{x^{2} \tan (5 x)}$ und $x$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{2 \tan (5 x) x}{x^{2} \tan (5 x)}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (5 x)$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{2 \tan (5 x) x}{x^{2} \tan (5 x)}$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\tan (5 x)} + \frac{2}{x}$