Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} \cdot (3 x) + 7)$

Schritt 1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Schritt 1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 + 2} \cdot 3 + 7)]$

Schritt 1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} \cdot 3 + 7)]$

Schritt 2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 \cdot x^{3} + 7)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + 0)$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2})$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3 x^{3} + 7}$ .

$\frac{9}{3 x^{3} + 7} x^{2}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{9}{3 x^{3} + 7}$ und $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{3 x^{3} + 7}$