Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}}$ als ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cos ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - \cos (2 x)$ und $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 10.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 10.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 10.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 11.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 11.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12

Differenziere.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (1 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \cdot 1) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 2 - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 12.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 13.2

Die Ableitung von $\cos (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $- \sin (u_{4})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 13.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 14

Differenziere.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 1 (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $1 - \cos (2 x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 14.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 14.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 14.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

Schritt 14.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 \cdot ((1 - \cos (2 x)) \sin (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 14.5.3

Mutltipliziere $\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ mit $\frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 14.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ an.

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ an.

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{((2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- \cos (2 x))) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8

Vereine die Terme

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Schritt 15.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.4

Addiere $2 \sin (2 x)$ und $2 \sin (2 x)$ .

$- \frac{(2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 4 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.5

Subtrahiere $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ von $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$- \frac{(0 + 4 \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.6

Addiere $0$ und $4 \sin (2 x)$ .

$- \frac{4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.7

Faktorisiere $2$ aus $4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.8.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 ({(1 + \cos (2 x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.9

Mutltipliziere $\frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 15.8.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Schritt 15.8.11

Bringe ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 15.8.12

Multipliziere ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ mit ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.8.12.1

Bewege ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2})}$

Schritt 15.8.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Schritt 15.8.12.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 15.8.12.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 15.8.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 15.8.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.8.12.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Schritt 15.8.12.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{3}{2}}}$