Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (e^{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$