Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x^{4}) (\frac{x}{x + 6})$

Schritt 1

Kombiniere $\cos (x^{4})$ und $\frac{x}{x + 6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x^{4}) x}{x + 6}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x^{4}) x$ und $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [\cos (x^{4}) x] - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x^{4})$ und $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (x^{4})$ mit $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) (4 x^{3}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- 4 \sin (x^{4}) x^{3})) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3} x^{1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3 + 1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 9

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 12

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.2

Multipliziere $(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4}))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x (x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.3.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x^{1}) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{4 + 1} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cos (x^{4})$ und $- \cos (x^{4}) x$ neu an.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - x \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.2.2

Subtrahiere $x \cos (x^{4})$ von $x \cos (x^{4})$ .

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 0}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.1.2.3

Addiere $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{5} \sin (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 24 x^{4} \sin (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $2$ aus $6 \cos (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4}))$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{5} \sin (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x^{4} \sin (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4}))$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.7

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \cos (x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4}))$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.9

Schreibe $- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ als $- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 14.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$