Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (3 x) \cdot \cos (3 x)$

Schritt 1

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{1} (3 x) \cdot \cos (3 x)]$

Schritt 2

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{1} (3 x) \cdot \cos^{1} (3 x)]$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{1 + 1}]$

Schritt 4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (3 x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$2 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$2 \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$2 \cos (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 7.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 \cos (3 x) \sin (3 x)$