Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (4 x) \sin^{4} (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (4 x)$ und $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\cos (4 x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$4 \cdot \cos (4 x) \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1)$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x))$

Schritt 6.4.2

Stelle die Terme um.

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cos (4 x) - 4 \sin^{4} (x) \sin (4 x)$