Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\tan (\sqrt{x}))$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cos (\tan (x^{\frac{1}{2}}))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ .

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})))}{2}$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Schreibe $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{{(\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{2} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ an.

$- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ und $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ .

$- \frac{\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 14.4

Kombinieren.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \cdot 1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot \cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.7

Faktorisiere $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ aus $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.8

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 14.9

Schreibe $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Schritt 14.10

Schreibe $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Schritt 14.11

Vereinfache.

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Schritt 14.11.1

Dividiere $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Schritt 14.11.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ nach $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ um.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 14.12

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 14.13

Wandle von $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ nach $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ um.

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 14.14

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Schritt 14.15

Multipliziere $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}))$ .

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Schritt 14.15.1

Kombiniere $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ und $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14.15.2

Kombiniere $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.15.3

Potenziere $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.15.4

Potenziere $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.15.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.15.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$