Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cos (x) (\sin^{4} (x))}{4 \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x) \sin^{4} (x)}{4 \cos (x)}]$

Schritt 1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin^{4} (x)}{4}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sin^{4} (x)}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sin^{3} (x)$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 4}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{4 \cdot \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin^{3} (x)}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4.2

Dividiere $\sin^{3} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \cos (x)$