Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ zu dividieren.

$1 \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x} + 1$ und $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ mit $\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Faktorisiere $e^{x} - 1$ aus $(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1.1

Subtrahiere $e^{x} e^{x}$ von $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4.1.2

Subtrahiere $1 e^{x}$ von $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4.2.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.4.3

Subtrahiere $e^{x}$ von $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Schritt 11.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$