Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ zu dividieren.

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ mit $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $e^{x} + 1$ aus $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.3.1.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Schritt 12.3.2.1

Subtrahiere $e^{2 x}$ von $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.3.2.2

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.4

Vereine die Terme

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Schritt 12.4.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.4.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.5.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Schritt 12.5.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Schritt 12.5.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 12.5.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Schritt 12.5.3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Schritt 12.5.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Schritt 12.5.3.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Schritt 12.5.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Schritt 12.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 12.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Schritt 12.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$