Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ als $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Schritt 3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x^{3}}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Schritt 12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$