Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ mit $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 1}{x + 1}$ an.

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x - - 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Dividiere ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.4

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.5.5

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Schritt 4.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Schritt 4.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.6.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

Schritt 4.5.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 4.5.7

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

Schritt 4.5.8

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

Schritt 4.5.9

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

Schritt 4.5.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Schritt 4.5.11

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 4.5.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Schritt 4.5.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Schritt 4.5.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$