Analysis Beispiele

$f (x) = arcsec (\sqrt{x + 1})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $arcsec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1 - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 0}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 13

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 16.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{1} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 18

Vereinfache.

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 19

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 21

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + 0)$

Schritt 22

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 22.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 22.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(2 x + 2 \cdot 1) \sqrt{x}}$

Schritt 23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3

Vereine die Terme

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Schritt 23.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.3.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 23.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Schritt 23.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}}$