Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (x) - x^{3} \cos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - x^{3} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3} \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + 1 (x^{3} (\sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.5.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.5.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$