Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\sin (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (2 x^{2} - 1)}$ als ${\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (2 x^{2} - 1)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sin (2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\sin (2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} - 1)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\cos (2 x^{2} - 1)$ und $\frac{1}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 0)$

Schritt 9.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.7.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x)$

Schritt 9.7.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 9.7.3

Kombiniere $\frac{4 \cos (2 x^{2} - 1)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{4 \cos (2 x^{2} - 1) x}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.7.4

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos (2 x^{2} - 1) x$ heraus.

$\frac{2 (2 \cos (2 x^{2} - 1) x)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 \cos (2 x^{2} - 1) x)}{2 ({\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \cos (2 x^{2} - 1) x)}{2 {\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos (2 x^{2} - 1) x}{{\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Stelle die Faktoren in $2 \cos (2 x^{2} - 1) x$ um.

$\frac{2 x \cos (2 x^{2} - 1)}{{\sin (2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$