Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Schritt 4.2

Multipliziere $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (3 x)}$ und $3$ .

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{3}{\cos (3 x)}$ und $\cos (\sec (3 x))$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Schritt 4.3

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 4.4

Multipliziere $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ mit $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $\cos (3 x)$ aus $\cos^{2} (3 x)$ heraus.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.6

Separiere Brüche.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

Schritt 4.7

Schreibe $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Schritt 4.8

Schreibe $\cos (\sec (3 x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Dividiere $\cos (\sec (3 x))$ durch $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Schritt 4.9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 x)}$ nach $\sec (3 x)$ um.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Schritt 4.10

Separiere Brüche.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Schritt 4.11

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Schritt 4.12

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$