Analysis Beispiele

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ gleich $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ist mit $f (n) = n$ und $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ ist $f' (g (n)) g' (n)$ , mit $f (n) = \ln (n)$ und $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ und $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{x}{n}$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.5

Da $x$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{n}$ nach $n$ gleich $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.6.2

Schreibe $\frac{1}{n}$ als $n^{- 1}$ um.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ und $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 4

Multipliziere $n$ mit $n^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $n^{- 2}$ mit $n$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 4.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 5

Bringe $n^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $\ln (1 + \frac{x}{n})$ mit $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Schritt 8

Um $\ln (1 + \frac{x}{n})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Schritt 9

Kombiniere $\ln (1 + \frac{x}{n})$ und $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 11.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.3.2

Stelle die Faktoren in $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ um.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.4

Vereine die Terme

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Schritt 11.4.2

Kombiniere $\frac{x}{n}$ und $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Schritt 11.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 11.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Schritt 11.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Schritt 11.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Schritt 11.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Schritt 11.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Schritt 11.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$