Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\tan (x) \cdot \tan (x))$

Schritt 1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan (x))]$

Schritt 2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan^{1} (x))]$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\ln ({\tan (x)}^{1 + 1})]$

Schritt 4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{2} (x))]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 7

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 9

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cot^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 10.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cdot \cot^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 12

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 13

Stelle die Faktoren von $2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$2 \cot^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)$