Analysis Beispiele

$f (x) = \sin ({(0.5 - x)}^{1 + a})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = {(0.5 - x)}^{1 + a}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(0.5 - x)}^{1 + a}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(0.5 - x)}^{1 + a}$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) \frac{d}{d x} [{(0.5 - x)}^{1 + a}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{1 + a}$ und $g (x) = 0.5 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $0.5 - x$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{1 + a}] \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1 + a$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {u_{2}}^{1 + a - 1} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $0.5 - x$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{1 + a - 1} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a + 0} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

Schritt 3.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \frac{d}{d x} [0.5 - x])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (\frac{d}{d x} [0.5] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.4

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a} \cdot - 1)$

Schritt 3.8.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(1 + a) {(0.5 - x)}^{a}$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- 1 \cdot ((1 + a) {(0.5 - x)}^{a}))$

Schritt 3.8.3

Schreibe $- 1 (1 + a)$ als $- (1 + a)$ um.

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- (1 + a) {(0.5 - x)}^{a})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 \cdot 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $\cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) ((- 1 - a) {(0.5 - x)}^{a})$ um.

${(0.5 - x)}^{a} \cos ({(0.5 - x)}^{1 + a}) (- 1 - a)$