Analysis Beispiele

$f (x) = \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec (x) \tan (x)]$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)]$

Schritt 1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x)]$

Schritt 1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{3} (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Schritt 4

Multipliziere $\sec^{3} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Schritt 4.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \cdot \tan (x) \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan (x) \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 8

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 9

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{5} (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 12

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $2$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{5} (x)$