Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x) \cos (\ln (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\ln (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sin (\ln (x))$ .

$\ln (x) (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\cos (\ln (x))$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \frac{\cos (\ln (x))}{x}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x}$