Analysis Beispiele

$f (x) = \log (- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (3 x^{2})$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (10)$ und $\frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (\cos (3 x^{2}) \cdot 3)}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2.3

Stelle um.

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Schritt 2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x^{2})$ .

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (3 \cdot \cos (3 x^{2}))}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (10)$ .

$\frac{1}{- \frac{3 \cdot \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}$ zu dividieren.

$- (1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}) \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\cos (3 x^{2})$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}]$

Schritt 4.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x^{2})$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3 \cdot \cos (3 x^{2})}{2}]$

Schritt 4.3

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 \cos (3 x^{2})}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$ .

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Schritt 4.4.4

Multipliziere.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{6 (\ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Schritt 4.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Schritt 4.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ und $\sin (3 x^{2})$ .

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{- 3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (2 x)$

Schritt 6.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ .

$\frac{- 2 (3 \sin (3 x^{2}))}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

Schritt 6.5.4

Kombiniere $\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ und $x$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Schritt 6.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren in $6 \sin (3 x^{2}) x$ um.

$- \frac{6 x \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

Schritt 7.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \cdot \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})})$

Schritt 7.3

Wandle von $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})}$ nach $\tan (3 x^{2})$ um.

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \tan (3 x^{2}))$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{6 x}{\ln (10)}$ und $\tan (3 x^{2})$ .

$- \frac{6 x \tan (3 x^{2})}{\ln (10)}$