Analysis Beispiele

$f (x) = \log (\frac{1}{\sin (4 x)})$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\sin (4 x)}$ nach $\csc (4 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\log (\csc (4 x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = \csc (4 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (4 x)$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{\csc (4 x) \ln (10)}$ und $\csc (4 x)$ .

$- \frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $\cot (4 x)$ und $\frac{\csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)}$ .

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (4 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cot (4 x) \csc (4 x)}{\csc (4 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{\cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\cot (4 x)}{\ln (10)}$ .

$\frac{- 4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)} \cdot 1$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4 \cot (4 x)}{\ln (10)}$