Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 5$ .

$\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.7

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2 x - 1}$ und $2$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1)$

Schritt 4.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \cdot - 1$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{4 - x}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{- 1}{4 - x}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5

Vereine die Terme

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Schritt 5.1

Um $\frac{1}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.2

Um $\frac{2}{2 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 5) (2 x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 5}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{2 x - 1}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 5) (2 x - 1)$ um.

$\frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.5

Um $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x}$

Schritt 5.6

Um $- \frac{1}{4 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Schritt 5.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ mit $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4 - x}$ mit $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Schritt 5.7.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ um.

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Schritt 5.7.4

Stelle die Faktoren von $(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))$ um.

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x) - (2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$