Analysis Beispiele

$f (x) = \log (arcsec (\sqrt{x}))$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\log (arcsec (x^{\frac{1}{2}}))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [arcsec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $arcsec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}}$ mit $\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) \cdot 2}$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)))}$

Schritt 15.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 16.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 16.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 16.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 16.2

Vereinfache $2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$