Analysis Beispiele

$f (z) = \sec (z + \ln (z))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = \sec (z)$ und $g (z) = z + \ln (z)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $z + \ln (z)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $z + \ln (z)$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + \ln (z)$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)]$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (z)$ nach $z$ ist $\frac{1}{z}$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{1}{z})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \cdot 1 + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sec (z + \ln (z))$ mit $1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Schritt 4.3

Multipliziere $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$ .

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{z}$ und $\sec (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z))}{z} \tan (z + \ln (z))$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{\sec (z + \ln (z))}{z}$ und $\tan (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Schritt 4.4

Um $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z}{z} + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ aus $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ aus $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z$ heraus.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ aus $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ heraus.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)}{z}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ aus $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)$ heraus.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z + 1)}{z}$