Analysis Beispiele

$f (z) = z^{2} \sqrt[3]{2 z - 5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 z - 5}$ als ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d z} [z^{2} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z^{2}$ und $g (z) = {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [{(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{\frac{1}{3}}$ und $g (z) = 2 z - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$z^{2} (\frac{{(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 8.3

Bringe ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $z^{2}$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 z - 5$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2 z$ nach $z$ gleich $2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 13

Da $- 5$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + 0) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 2 + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $2$ .

$\frac{z^{2} \cdot 2}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 14.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z^{2}$ .

$\frac{2 \cdot z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (2 z)$

Schritt 16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$

Schritt 17

Vereinige $\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $2 {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Bewege ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 17.2

Um $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 17.3

Kombiniere $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 z^{2} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19

Multipliziere ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Bewege ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z ({(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{1}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 20

Vereinfache $6 z {(2 z - 5)}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z - 5)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z \cdot z + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.2.1.2.1

Bewege $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.2

Addiere $2 z^{2}$ und $12 z^{2}$ .

$\frac{14 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.3

Faktorisiere $2 z$ aus $14 z^{2} - 30 z$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.3.1

Faktorisiere $2 z$ aus $14 z^{2}$ heraus.

$\frac{2 z (7 z) - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.3.2

Faktorisiere $2 z$ aus $- 30 z$ heraus.

$\frac{2 z (7 z) + 2 z (- 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.3.3

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z (7 z) + 2 z (- 15)$ heraus.

$\frac{2 z (7 z - 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$