Analysis Beispiele

$f (z) = z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z^{2}$ und $g (z) = z + 4$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [z + 4] + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + 4$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]$ .

$z^{2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$z^{2} (1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$z^{2} \cdot 1 + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $z^{2}$ mit $1$ .

$z^{2} + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z + 4$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ nach $z$ gleich $- 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = z$ und $g (z) = z^{2} + 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z^{2} + 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $z^{2} + 1$ mit $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Addiere $2 z$ und $0$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z \cdot z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Potenziere $z$ mit $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Potenziere $z$ mit $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z^{1})}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{1 + 1}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.14

Subtrahiere $2 z^{2}$ von $z^{2}$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{- 2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z^{2} + (2 z + 2 \cdot 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$z^{2} + 2 (z^{1} z) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$z^{2} + 2 (z^{1} z^{1}) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{2} + 2 z^{1 + 1} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$z^{2} + 2 z^{2} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z^{2} + 2 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Addiere $z^{2}$ und $2 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.9

Um $3 z^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}} - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} - (- 2 z^{2} + 2)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$