Analysis Beispiele

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ nach $z$ gleich $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = \cos (z)$ und $g (z) = z + 1$ .

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (z)$ nach $z$ ist $- \sin (z)$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- \sin (z)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$