Analysis Beispiele

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = 11 x + 5 y$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{11 x + 5 y}$ und $y$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 x + 5 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3

Da $11 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.5

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.6

Kombiniere $5$ und $\frac{y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ mit $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\ln (11 x + 5 y)$ mit $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

Schritt 4

Um $\ln (11 x + 5 y)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.1.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.4.1

Vereinfache $11 \ln (11 x + 5 y)$ , indem du $11$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.1.1.4.2

Vereinfache $5 \ln (11 x + 5 y)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.1.2

Stelle die Faktoren in $5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ um.

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$