Analysis Beispiele

$f (y) = (y + 2) e^{x (y + 2)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y + 2$ und $g (y) = e^{x (y + 2)}$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [e^{x (y + 2)}] + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x (y + 2)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x (y + 2)$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(y + 2) (e^{u} \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x (y + 2)$ .

$(y + 2) (e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x (y + 2)$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y + 2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x \frac{d}{d y} [y + 2]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (1 + \frac{d}{d y} [2])) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (1 + 0)) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x \cdot 1) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Schritt 3.8

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (1 + 0)$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} \cdot 1$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $e^{x (y + 2)}$ mit $1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + 2) e^{x y + x \cdot 2} x + e^{x (y + 2)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + 2) e^{x y + x \cdot 2} x + e^{x y + x \cdot 2}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(y + 2) e^{x y + 2 \cdot x} x + e^{x y + x \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(y + 2) e^{x y + 2 x} x + e^{x y + 2 x}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$e^{x y + 2 x} x (y + 2) + e^{x y + 2 x}$