Analysis Beispiele

$f (x) = x {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 4 x - 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 2$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.3

Bringe ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + 0) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 4 + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ und $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 15

Mutltipliziere ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 16

Um ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 17

Kombiniere ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19

Multipliziere ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1

Bewege ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 20

Vereinfache ${(4 x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4 x + (4 x - 2) \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x - 2$ .

$\frac{4 x + 3 \cdot (4 x - 2)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4 x + 12 x + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x + 12 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.2.2

Addiere $4 x$ und $12 x$ .

$\frac{16 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.3

Faktorisiere $2$ aus $16 x - 6$ heraus.

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Schritt 22.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{2 (8 x) - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (8 x) + 2 (- 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (8 x - 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$