Analysis Beispiele

$f (x) = x (1 - \frac{4}{x + 3})$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{x + 3})]$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x \frac{x + 3 - 4}{x + 3}]$

Schritt 1.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{x - 1}{x + 3}]$

Schritt 1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{x - 1}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 1)}{x + 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x (x - 1)$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x (x - 1)] - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x + 3) (x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \cdot 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(x + 3) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{2} - x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Addiere $- x$ und $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 1 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 3 + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Addiere $5 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$