Analysis Beispiele

$f (x) = x (x^{8}) (\sqrt{x}) (x^{\frac{7}{8}})$

Schritt 1

Multipliziere $x$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{8}$ .

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Schritt 1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{8} \sqrt{x} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 8} \sqrt{x} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 1.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{9} \sqrt{x} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{9} x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{9}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{9 + \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9 \cdot 2 + 1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{18 + 1}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 3.5.2

Addiere $18$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{2}} x^{\frac{7}{8}}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{\frac{19}{2}}$ mit $x^{\frac{7}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{2} + \frac{7}{8}}]$

Schritt 4.2

Um $\frac{19}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{8}}]$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{19}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{7}{8}}]$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19 \cdot 4}{8} + \frac{7}{8}}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19 \cdot 4 + 7}{8}}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $19$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{76 + 7}{8}}]$

Schritt 4.5.2

Addiere $76$ und $7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{83}{8}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{83}{8}$ .

$\frac{83}{8} x^{\frac{83}{8} - 1}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{83}{8} x^{\frac{83}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{83}{8} x^{\frac{83}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{83}{8} x^{\frac{83 - 1 \cdot 8}{8}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{83}{8} x^{\frac{83 - 8}{8}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $8$ von $83$ .

$\frac{83}{8} x^{\frac{75}{8}}$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{83}{8}$ und $x^{\frac{75}{8}}$ .

$\frac{83 x^{\frac{75}{8}}}{8}$