Analysis Beispiele

$f (x) = x \cdot {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $7 - 3 x$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.3

Bringe ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1 + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 16

Mutltipliziere ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 17

Um ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 18

Kombiniere ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20

Multipliziere ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ mit ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Bewege ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (7 - 3 x) \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7 - 3 x$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2 \cdot 7 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{3 x + 14 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 14 - 6 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.4

Schreibe $14$ als $- 1 (- 14)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 14)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.6

Schreibe $- (3 x - 14)$ als $- 1 (3 x - 14)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$