Analysis Beispiele

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.4

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.5

Da $- 0.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.14

Kombiniere $- 0.1$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.15

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.17

Subtrahiere $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.18

Kombiniere $x$ und $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.19

Bringe $0.1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.20

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.21.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.21.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.21.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.22

Mutltipliziere $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.23

Um $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.24

Kombiniere $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.26

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.27

Subtrahiere $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ von $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 2.28

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (35 x + 500)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $35 x + 500$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

Schritt 3.3

Da $35$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $35 x$ nach $x$ gleich $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

Schritt 3.5

Da $500$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $500$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $35$ mit $1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $35$ und $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $35$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $35$ von $50$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $0.3$ aus $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 4.3.3

Separiere Brüche.

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Schritt 4.3.4

Dividiere $0.3$ durch $2$ .

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Schritt 4.3.5

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $0.15$ mit $- 1$ .

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$