Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{12 x + 5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{12 x + 5}$ als ${(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 12 x + 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $12 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $12 x + 5$ .

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(12 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(12 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(12 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3

Bringe ${(12 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [12 x + 5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [12 x + 5] + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 + \frac{d}{d x} [5]) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 + 0) + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 12 + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $12$ .

$\frac{x \cdot 12}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.3

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{12 \cdot x}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.4

Faktorisiere $2$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{2 (6 x)}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (6 x)}{2 ({(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x)}{2 {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 x}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 17

Mutltipliziere ${(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{6 x}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 18

Um ${(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Multipliziere ${(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x + {(12 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x + {(12 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 x + {(12 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{6 x + {(12 x + 5)}^{1}}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache ${(12 x + 5)}^{1}$ .

$\frac{6 x + 12 x + 5}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Addiere $6 x$ und $12 x$ .

$\frac{18 x + 5}{{(12 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$