Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Schritt 2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ als ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ um.

$1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}))$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}))$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ und $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Schritt 2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{4}}$ mit $x^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.14.1

Bewege $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 (x^{- \frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Schritt 2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.3

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.14.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Schritt 2.14.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Schritt 2.15

Bringe $x^{- \frac{7}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}})$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$1 + 4 \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.17

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.18

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$1 + \frac{12}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.19

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.20.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{7}{4}}$ heraus.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{\frac{7}{4}})}$

Schritt 2.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 2.20.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{3}{x^{\frac{7}{4}}}$