Analysis Beispiele

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x - 3 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - 3 - 3 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Schritt 2.1.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Schritt 2.1.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Schritt 2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Schritt 2.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $\frac{3}{x}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x - 3 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $\ln (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Schritt 5.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - a + 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - a + 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividiere $3$ durch $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Schritt 5.6

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ um.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11