Analysis Beispiele

$f (x) = a x + \frac{b}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + \frac{b}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{b}{x}$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$a + b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$a + b \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$a + b (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a + b (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$a - \frac{b}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - \frac{b}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x^{2}})$

Schritt 2.1.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{b}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - b (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - b (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - b (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - b (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 b x^{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 b (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{2}{x^{3}})$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $b$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b \cdot 2}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot b}{x^{3}}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{2 b}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 b}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$a - \frac{b}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + \frac{b}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{b}{x}$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$a + b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$a + b \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$a + b (- x^{- 2})$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a + b (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4.1.4.2

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = a - \frac{b}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $a - \frac{b}{x^{2}}$ .

$a - \frac{b}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $a - \frac{b}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$a - \frac{b}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{b}{x^{2}} = - a$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{b}{x^{2}} = - a$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{b}{x^{2}} = - a$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{b}{x^{2}} x^{2} = - a x^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- b}{x^{2}} x^{2} = - a x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- b}{x^{2}} x^{2} = - a x^{2}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- b = - a x^{2}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- a x^{2} = - b$ um.

$- a x^{2} = - b$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- a x^{2} = - b$ durch $- a$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- a x^{2} = - b$ durch $- a$ .

$\frac{- a x^{2}}{- a} = \frac{- b}{- a}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{a x^{2}}{a} = \frac{- b}{- a}$

Schritt 5.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x^{2}}{a} = \frac{- b}{- a}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- b}{- a}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{b}{a}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{b}{a}}$ als $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

Schritt 5.5.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ mit $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$

Schritt 5.5.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ mit $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{\sqrt{a} \sqrt{a}}$

Schritt 5.5.4.3.2

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a}}$

Schritt 5.5.4.3.3

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{a}}^{2}$ als $a$ um.

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Schritt 5.5.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a^{1}}$

Schritt 5.5.4.3.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{a}$

Schritt 5.5.4.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{b a}}{a}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{b}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$a = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$

$x = - \frac{\sqrt{b a}}{a}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{b a}}{a}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 b}{{(\frac{\sqrt{b a}}{a})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{b a}}{a}$ an.

$\frac{2 b}{\frac{{\sqrt{b a}}^{3}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{b a}}^{3}$ als $\sqrt{{(b a)}^{3}}$ um.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{{(b a)}^{3}}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.2

Wende die Produktregel auf $b a$ an.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{b^{3} a^{3}}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3

Schreibe $b^{3} a^{3}$ als ${(b a)}^{2} (b a)$ um.

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Schritt 9.1.2.3.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{b^{2} b a^{3}}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3.2

Faktorisiere $a^{2}$ aus.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{b^{2} b (a^{2} a)}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3.3

Bewege $b$ .

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{b^{2} a^{2} b a}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3.4

Schreibe $b^{2} a^{2}$ als ${(b a)}^{2}$ um.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{{(b a)}^{2} b a}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.3.5

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 b}{\frac{\sqrt{{(b a)}^{2} (b a)}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 b}{\frac{b a \sqrt{b a}}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a$ und $a^{3}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $a$ aus $b a \sqrt{b a}$ heraus.

$\frac{2 b}{\frac{a (b \sqrt{b a})}{a^{3}}}$

Schritt 9.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{3}$ heraus.

$\frac{2 b}{\frac{a (b \sqrt{b a})}{a \cdot a^{2}}}$

Schritt 9.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b}{\frac{a (b \sqrt{b a})}{a \cdot a^{2}}}$

Schritt 9.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 b}{\frac{b \sqrt{b a}}{a^{2}}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 b \frac{a^{2}}{b \sqrt{b a}}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $b$ aus $2 b$ heraus.

$b \cdot 2 \frac{a^{2}}{b \sqrt{b a}}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $b$ aus $b \sqrt{b a}$ heraus.

$b \cdot 2 \frac{a^{2}}{b (\sqrt{b a})}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b \cdot 2 \frac{a^{2}}{b \sqrt{b a}}$

Schritt 9.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{a^{2}}{\sqrt{b a}}$

Schritt 9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{a^{2}}{\sqrt{b a}}$ .

$\frac{2 a^{2}}{\sqrt{b a}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\frac{2 a^{2}}{\sqrt{b a}}$ mit $\frac{\sqrt{b a}}{\sqrt{b a}}$ .

$\frac{2 a^{2}}{\sqrt{b a}} \cdot \frac{\sqrt{b a}}{\sqrt{b a}}$

Schritt 9.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 a^{2}}{\sqrt{b a}}$ mit $\frac{\sqrt{b a}}{\sqrt{b a}}$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{\sqrt{b a} \sqrt{b a}}$

Schritt 9.6.2

Potenziere $\sqrt{b a}$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{\sqrt{b a}}^{1} \sqrt{b a}}$

Schritt 9.6.3

Potenziere $\sqrt{b a}$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{\sqrt{b a}}^{1} {\sqrt{b a}}^{1}}$

Schritt 9.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{\sqrt{b a}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{\sqrt{b a}}^{2}}$

Schritt 9.6.6

Schreibe ${\sqrt{b a}}^{2}$ als $b a$ um.

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Schritt 9.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{b a}$ als ${(b a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{({(b a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{(b a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{(b a)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{(b a)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{{(b a)}^{1}}$

Schritt 9.6.6.5

Vereinfache.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{b a}}{b a}$

Schritt 9.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2}$ und $a$ .

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a^{2} \sqrt{b a}$ heraus.

$\frac{a (2 a \sqrt{b a})}{b a}$

Schritt 9.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.7.2.1

Faktorisiere $a$ aus $b a$ heraus.

$\frac{a (2 a \sqrt{b a})}{a b}$

Schritt 9.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (2 a \sqrt{b a})}{a b}$

Schritt 9.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 a \sqrt{b a}}{b}$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11