Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x) - \arctan (x - 5)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (x) - \arctan (x - 5)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x - 5)]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x - 5)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (x - 5)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \arctan (x - 5)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \arctan (x - 5)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\arctan (x - 5)]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (x - 5)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 1.3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Um $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{1 + {(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{1 + {(x - 5)}^{2}} - \frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Um $- \frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{1 + {(x - 5)}^{2}} - \frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + x^{2}) (1 + {(x - 5)}^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{1 + {(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + {(x - 5)}^{2})} - \frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(x - 5)}^{2}}$ mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + {(x - 5)}^{2})} - \frac{1 + x^{2}}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + x^{2}) (1 + {(x - 5)}^{2})$ um.

$\frac{1 + {(x - 5)}^{2}}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})} - \frac{1 + x^{2}}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + {(x - 5)}^{2} - (1 + x^{2})}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{{(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})$ und $g (x) = (1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2}) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) (1 + 0) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) + 0 + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Addiere $2 (x - 5)$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) + \frac{d}{d x} (- (1 + x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (1 + x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - \frac{d}{d x} x^{2}) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - (2 x)) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.4.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} ((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + {(x - 5)}^{2}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) ((1 + {(x - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) ((1 + {(x - 5)}^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) ((1 + {(x - 5)}^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) ((1 + {(x - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) ((1 + {(x - 5)}^{2}) (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 \cdot ((1 + {(x - 5)}^{2}) x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + {(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + {(x - 5)}^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2})))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2})))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.6.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2}))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5)))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x - 5)))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5)))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) (x - 5)) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5) (1 + 0))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5) \cdot 1)}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{((1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}))}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Wende die Produktregel auf $(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})$ an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 (x - 5) - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) - ({(x - 5)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1 - x^{2}) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 (1 + {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) ((2 \cdot 1 + 2 {(x - 5)}^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + 2 (1 + x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{(1 + (x - 5) (x - 5)) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + x (x - 5) - 5 (x - 5)) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(1 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x^{2} - 10 x + 25) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.2

Addiere $1$ und $25$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - 10 x + 26) (1 + x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.3

Multipliziere $(x^{2} - 10 x + 26) (1 + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} - 10 x \cdot 1 - 10 x \cdot x^{2} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{2} x^{2} - 10 x \cdot 1 - 10 x \cdot x^{2} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{2 + 2} - 10 x \cdot 1 - 10 x \cdot x^{2} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x \cdot 1 - 10 x \cdot x^{2} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x \cdot x^{2} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.4.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 (x^{2} x) + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{2 + 1} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26 \cdot 1 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.4.5

Mutltipliziere $26$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26 + 26 x^{2}) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.5

Addiere $x^{2}$ und $26 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(27 x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26) (2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 2 \cdot - 5 - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.6.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{(27 x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26) (2 \cdot - 5 + 0) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.6.2

Addiere $2 \cdot - 5$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(27 x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26) (2 \cdot - 5) + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{(27 x^{2} + x^{4} - 10 x - 10 x^{3} + 26) \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{27 x^{2} \cdot - 10 + x^{4} \cdot - 10 - 10 x \cdot - 10 - 10 x^{3} \cdot - 10 + 26 \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.9.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $27$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} + x^{4} \cdot - 10 - 10 x \cdot - 10 - 10 x^{3} \cdot - 10 + 26 \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.9.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 \cdot x^{4} - 10 x \cdot - 10 - 10 x^{3} \cdot - 10 + 26 \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.9.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 \cdot x^{4} + 100 x - 10 x^{3} \cdot - 10 + 26 \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.9.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 \cdot x^{4} + 100 x + 100 x^{3} + 26 \cdot - 10 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.9.5

Mutltipliziere $26$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 \cdot x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- {(x - 5)}^{2} - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- ((x - 5) (x - 5)) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- (x^{2} - 10 x + 25) - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 - 1 \cdot 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 - 1 - (- 1 \cdot 1) + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.7

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 - 1 + 1 + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

Schritt 2.9.8.10.8

Multipliziere $- - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.10.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 - 1 + 1 + 1 x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.10.8.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} + 10 x - 25 - 1 + 1 + x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.11.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 + 0 + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.11.2

Addiere $- x^{2} + 10 x - 25$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (- x^{2} + 10 x - 25 + x^{2}) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.11.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25 + 0) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.11.4

Addiere $10 x - 25$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 \cdot (1 x) + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 {(x - 5)}^{2} x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.2

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 ((x - 5) (x - 5)) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.3

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x (x - 5) - 5 (x - 5)) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.4.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.4.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x^{2} - 10 x + 25) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + (2 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 25) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.6.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + (2 x^{2} - 20 x + 2 \cdot 25) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + (2 x^{2} - 20 x + 50) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{2} x - 20 x \cdot x + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.8.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 (x \cdot x^{2}) - 20 x \cdot x + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.12.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{1 + 2} - 20 x \cdot x + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.8.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x \cdot x + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.8.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 (x \cdot x) + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + (2 + 2 x^{2}) (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.10

Multipliziere $(2 + 2 x^{2}) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 (x - 5) + 2 x^{2} (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x + 2 \cdot - 5 + 2 x^{2} (x - 5))}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x + 2 \cdot - 5 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.11

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x - 10 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.11.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x - 10 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.12.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.12.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x - 10 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x - 10 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.12.11.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x + 2 x^{3} - 20 x^{2} + 50 x + 2 x - 10 + 2 x^{3} - 10 x^{2})}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.13

Addiere $2 x$ und $50 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (2 x^{3} - 20 x^{2} + 52 x + 2 x - 10 + 2 x^{3} - 10 x^{2})}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.14

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (4 x^{3} - 20 x^{2} + 52 x + 2 x - 10 - 10 x^{2})}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.15

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $- 20 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (4 x^{3} - 30 x^{2} + 52 x + 2 x - 10)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.16

Addiere $52 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + (10 x - 25) (4 x^{3} - 30 x^{2} + 54 x - 10)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.17

Multipliziere $(10 x - 25) (4 x^{3} - 30 x^{2} + 54 x - 10)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 10 x (4 x^{3}) + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 10 \cdot (4 x \cdot x^{3}) + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 10 \cdot (4 (x^{3} x)) + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.18.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 10 \cdot (4 x^{3 + 1}) + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 10 \cdot (4 x^{4}) + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} + 10 x (- 30 x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} + 10 \cdot (- 30 x \cdot x^{2}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} + 10 \cdot (- 30 (x^{2} x)) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.9.8.18.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} + 10 \cdot (- 30 x^{2 + 1}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} + 10 \cdot (- 30 x^{3}) + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 30$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 10 x (54 x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 10 \cdot (54 x \cdot x) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.18.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 10 \cdot (54 (x \cdot x)) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 10 \cdot (54 x^{2}) + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.9

Mutltipliziere $10$ mit $54$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} + 10 x \cdot - 10 - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.10

Mutltipliziere $- 10$ mit $10$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x - 25 (4 x^{3}) - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x - 100 x^{3} - 25 (- 30 x^{2}) - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.12

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x - 100 x^{3} + 750 x^{2} - 25 (54 x) - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.13

Mutltipliziere $54$ mit $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x - 100 x^{3} + 750 x^{2} - 1350 x - 25 \cdot - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.18.14

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 300 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x - 100 x^{3} + 750 x^{2} - 1350 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.19

Subtrahiere $100 x^{3}$ von $- 300 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 400 x^{3} + 540 x^{2} - 100 x + 750 x^{2} - 1350 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.20

Addiere $540 x^{2}$ und $750 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 400 x^{3} + 1290 x^{2} - 100 x - 1350 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.21

Subtrahiere $1350 x$ von $- 100 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 270 x^{2} - 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 400 x^{3} + 1290 x^{2} - 1450 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.22

Addiere $- 270 x^{2}$ und $1290 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 + 40 x^{4} - 400 x^{3} + 1020 x^{2} - 1450 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.23

Addiere $- 10 x^{4}$ und $40 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{4} + 100 x + 100 x^{3} - 260 - 400 x^{3} + 1020 x^{2} - 1450 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.24

Subtrahiere $1450 x$ von $100 x$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{4} + 100 x^{3} - 260 - 400 x^{3} + 1020 x^{2} - 1350 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.25

Subtrahiere $400 x^{3}$ von $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{4} - 300 x^{3} - 260 + 1020 x^{2} - 1350 x + 250}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.26

Addiere $- 260$ und $250$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{4} - 300 x^{3} + 1020 x^{2} - 1350 x - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27

Faktorisiere $10$ aus $30 x^{4} - 300 x^{3} + 1020 x^{2} - 1350 x - 10$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.8.27.1

Faktorisiere $10$ aus $30 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4}) - 300 x^{3} + 1020 x^{2} - 1350 x - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.2

Faktorisiere $10$ aus $- 300 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4}) + 10 (- 30 x^{3}) + 1020 x^{2} - 1350 x - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.3

Faktorisiere $10$ aus $1020 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4}) + 10 (- 30 x^{3}) + 10 (102 x^{2}) - 1350 x - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.4

Faktorisiere $10$ aus $- 1350 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4}) + 10 (- 30 x^{3}) + 10 (102 x^{2}) + 10 (- 135 x) - 10}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.5

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4}) + 10 (- 30 x^{3}) + 10 (102 x^{2}) + 10 (- 135 x) + 10 (- 1)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.6

Faktorisiere $10$ aus $10 (3 x^{4}) + 10 (- 30 x^{3})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3}) + 10 (102 x^{2}) + 10 (- 135 x) + 10 (- 1)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.7

Faktorisiere $10$ aus $10 (3 x^{4} - 30 x^{3}) + 10 (102 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2}) + 10 (- 135 x) + 10 (- 1)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.8

Faktorisiere $10$ aus $10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2}) + 10 (- 135 x)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x) + 10 (- 1)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.8.27.9

Faktorisiere $10$ aus $10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x) + 10 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + {(x - 5)}^{2})}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.9.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + (x - 5) (x - 5))}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x (x - 5) - 5 (x - 5))}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.9.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x^{2} - 5 x - 5 x + 25)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(1 + x^{2} - 10 x + 25)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.9.4

Addiere $1$ und $25$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{4} - 30 x^{3} + 102 x^{2} - 135 x - 1)}{{(x^{2} - 10 x + 26)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{{(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})}{(1 + {(x - 5)}^{2}) (1 + x^{2})} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

${(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2}) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache ${(x - 5)}^{2} + 1 - (1 + x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 5)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1 - x^{2} = 0$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(x - 5)}^{2} + 1 - 1 - x^{2} = 0$

Schritt 5.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(x - 5)}^{2} + 1 - 1 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

${(x - 5)}^{2} + 0 - x^{2} = 0$

Schritt 5.1.2.2

Addiere ${(x - 5)}^{2}$ und $0$ .

${(x - 5)}^{2} - x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 5$ und $b = x$ .

$(x - 5 + x) (x - 5 - x) = 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$(2 x - 5) (x - 5 - x) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$(2 x - 5) (0 - 5) = 0$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$(2 x - 5) \cdot - 5 = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $(2 x - 5) \cdot - 5 = 0$ durch $- 5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $(2 x - 5) \cdot - 5 = 0$ durch $- 5$ .

$\frac{(2 x - 5) \cdot - 5}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 5) \cdot - 5}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $2 x - 5$ durch $1$ .

$2 x - 5 = \frac{0}{- 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 5.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10 (3 {(\frac{5}{2})}^{4} - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{10 (3 \frac{5^{4}}{2^{4}} - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{10 (3 \frac{625}{2^{4}} - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{10 (3 (\frac{625}{16}) - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $3 (\frac{625}{16})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{625}{16}$ .

$\frac{10 (\frac{3 \cdot 625}{16} - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $625$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - 30 {(\frac{5}{2})}^{3} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - 30 \frac{5^{3}}{2^{3}} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - 30 \frac{125}{2^{3}} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - 30 (\frac{125}{8}) + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} + 2 (- 15) \frac{125}{8} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} + 2 \cdot - 15 \frac{125}{2 \cdot 4} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 7.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - 15 (\frac{125}{4}) + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.9

Kombiniere $- 15$ und $\frac{125}{4}$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} + \frac{- 15 \cdot 125}{4} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.10

Mutltipliziere $- 15$ mit $125$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} + \frac{- 1875}{4} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 102 {(\frac{5}{2})}^{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.12

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 102 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.13

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 102 \frac{25}{2^{2}} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 102 (\frac{25}{4}) - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $102$ heraus.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 2 (51) \frac{25}{4} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.15.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 2 \cdot 51 \frac{25}{2 \cdot 2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 2 \cdot 51 \frac{25}{2 \cdot 2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.15.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + 51 (\frac{25}{2}) - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.16

Kombiniere $51$ und $\frac{25}{2}$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + \frac{51 \cdot 25}{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.17

Mutltipliziere $51$ mit $25$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + \frac{1275}{2} - 135 (\frac{5}{2}) - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.18

Multipliziere $- 135 (\frac{5}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.18.1

Kombiniere $- 135$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + \frac{1275}{2} + \frac{- 135 \cdot 5}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.18.2

Mutltipliziere $- 135$ mit $5$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + \frac{1275}{2} + \frac{- 675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.20

Um $- \frac{1875}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.21

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.21.1

Mutltipliziere $\frac{1875}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.21.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{10 (\frac{1875}{16} - \frac{1875 \cdot 4}{16} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 (\frac{1875 - 1875 \cdot 4}{16} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.23

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.23.1

Mutltipliziere $- 1875$ mit $4$ .

$\frac{10 (\frac{1875 - 7500}{16} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.23.2

Subtrahiere $7500$ von $1875$ .

$\frac{10 (\frac{- 5625}{16} + \frac{1275}{2} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.24

Um $\frac{1275}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{10 (\frac{- 5625}{16} + \frac{1275}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.25

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.25.1

Mutltipliziere $\frac{1275}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{10 (\frac{- 5625}{16} + \frac{1275 \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.25.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{10 (\frac{- 5625}{16} + \frac{1275 \cdot 8}{16} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 (\frac{- 5625 + 1275 \cdot 8}{16} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.27

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.27.1

Mutltipliziere $1275$ mit $8$ .

$\frac{10 (\frac{- 5625 + 10200}{16} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.27.2

Addiere $- 5625$ und $10200$ .

$\frac{10 (\frac{4575}{16} - \frac{675}{2} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.28

Um $- \frac{675}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{10 (\frac{4575}{16} - \frac{675}{2} \cdot \frac{8}{8} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.29.1

Mutltipliziere $\frac{675}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{10 (\frac{4575}{16} - \frac{675 \cdot 8}{2 \cdot 8} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.29.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{10 (\frac{4575}{16} - \frac{675 \cdot 8}{16} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 (\frac{4575 - 675 \cdot 8}{16} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.31

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.31.1

Mutltipliziere $- 675$ mit $8$ .

$\frac{10 (\frac{4575 - 5400}{16} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.31.2

Subtrahiere $5400$ von $4575$ .

$\frac{10 (\frac{- 825}{16} - 1)}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.32

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{10 (\frac{- 825}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.33

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{10 (\frac{- 825}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \frac{- 825 - 1 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.35

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.35.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{10 \frac{- 825 - 16}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.35.2

Subtrahiere $16$ von $- 825$ .

$\frac{10 (\frac{- 841}{16})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.36

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10 \cdot - 1 \frac{841}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.37

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.37.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (10 (\frac{841}{16}))}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.37.2

Kombiniere $10$ und $\frac{841}{16}$ .

$\frac{- \frac{10 \cdot 841}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.37.3

Mutltipliziere $10$ mit $841$ .

$\frac{- \frac{8410}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.38

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8410$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.38.1

Faktorisiere $2$ aus $8410$ heraus.

$\frac{- \frac{2 (4205)}{16}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.38.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.38.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{- \frac{2 \cdot 4205}{2 \cdot 8}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.38.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{2 \cdot 4205}{2 \cdot 8}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.38.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} - 10 (\frac{5}{2}) + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} + 2 (- 5) \frac{5}{2} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} + 2 \cdot - 5 \frac{5}{2} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} - 5 \cdot 5 + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} - 25 + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.6

Um $- 25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.7

Kombiniere $- 25$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.9.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{25 - 100}{4} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.9.2

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{- 75}{4} + 26)}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.10

Um $26$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{- 75}{4} + 26 \cdot \frac{4}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.11

Kombiniere $26$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{- 75}{4} + \frac{26 \cdot 4}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{- 75 + 26 \cdot 4}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.13.1

Mutltipliziere $26$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{- 75 + 104}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.13.2

Addiere $- 75$ und $104$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{{(\frac{29}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.14

Wende die Produktregel auf $\frac{29}{4}$ an.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{5}{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.15

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{5^{2}}{2^{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.16

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{25}{2^{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{25}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.18

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(\frac{4}{4} + \frac{25}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(\frac{4 + 25}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.20

Addiere $4$ und $25$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} {(\frac{29}{4})}^{2}}$

Schritt 7.2.21

Wende die Produktregel auf $\frac{29}{4}$ an.

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{29^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{29^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.22

Potenziere $29$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{841}{4^{2}} \cdot \frac{29^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.23

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{841}{16} \cdot \frac{29^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.24

Potenziere $29$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{841}{16} \cdot \frac{841}{4^{2}}}$

Schritt 7.2.25

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{841}{16} \cdot \frac{841}{16}}$

Schritt 7.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{841}{16}$ mit $\frac{841}{16}$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{841 \cdot 841}{16 \cdot 16}}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $841$ mit $841$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{707281}{16 \cdot 16}}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{- \frac{4205}{8}}{\frac{707281}{256}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{4205}{8} \cdot \frac{256}{707281}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $841$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4205}{8}$ in den Zähler.

$\frac{- 4205}{8} \cdot \frac{256}{707281}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $841$ aus $- 4205$ heraus.

$\frac{841 (- 5)}{8} \cdot \frac{256}{707281}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $841$ aus $707281$ heraus.

$\frac{841 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{256}{841 \cdot 841}$

Schritt 7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{841 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{256}{841 \cdot 841}$

Schritt 7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{256}{841}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Faktorisiere $8$ aus $256$ heraus.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{8 (32)}{841}$

Schritt 7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{8 \cdot 32}{841}$

Schritt 7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 (\frac{32}{841})$

Schritt 7.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{32}{841}$ .

$\frac{- 5 \cdot 32}{841}$

Schritt 7.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $32$ .

$\frac{- 160}{841}$

Schritt 7.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{160}{841}$

Schritt 8

$x = \frac{5}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \arctan (\frac{5}{2}) - \arctan ((\frac{5}{2}) - 5)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Berechne $\arctan (\frac{5}{2})$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan ((\frac{5}{2}) - 5)$

Schritt 9.2.1.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 9.2.1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})$

Schritt 9.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})$

Schritt 9.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (\frac{5 - 10}{2})$

Schritt 9.2.1.5.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (\frac{- 5}{2})$

Schritt 9.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 - \arctan (- \frac{5}{2})$

Schritt 9.2.1.7

Berechne $\arctan (- \frac{5}{2})$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 + 1.19028994$

Schritt 9.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.19028994$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1.19028994 + 1.19028994$

Schritt 9.2.2

Addiere $1.19028994$ und $1.19028994$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2.38057989$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.38057989$ .

$y = 2.38057989$

Schritt 10

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \arctan (x) - \arctan (x - 5)$ .

$(\frac{5}{2}, 2.38057989)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11