Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{6}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Schritt 1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Schritt 1.2.3.2

Kombiniere $\frac{6}{1 + x^{12}}$ und $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{12} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $12 x^{11}$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{11}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.4.3

Addiere $11$ und $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $6$ und $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{12}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.1.3

Addiere $4$ und $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.2

Subtrahiere $72 x^{16}$ von $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x^{5} = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{5} = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{5} = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x^{5} = 0$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 42$ mit $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 8

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 8.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 8.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Schritt 8.2.2.2.2

Addiere $4096$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Schritt 8.2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Schritt 8.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Schritt 8.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 8.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.3.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.2.1

Potenziere $2$ mit $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Addiere $4096$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Schritt 8.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Schritt 8.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 9